Bologna 20 Gennaio 2000

 

 

 

 

WAVELETS:

UN NUOVO STRUMENTO PER L’ANALISI

DI SEGNALI E IMMAGINI

 

Ignazio D’Antone

 

INFN

 

 

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Seminario di Sezione
WAVELETS

 

 

·  Nate nei primi anni ’80, le wavelets furono inizialmente     utilizzate nella rappresentazione di segnali sismici.

 

 

·   Nella seconda metà degli anni ’80 la teoria matematica è stata     rigorosamente formalizzata.

 

 

·   Il decennio scorso si è avuto un interesse sempre crescente verso questo strumento che rappresenta la sintesi di teorie e concetti sviluppatisi in campi diversi.

 

 

·  Sono uno strumento matematico semplice per l’analisi di segnali, suoni e immagini, analisi numerica e geometria frattale.

 

 


TRASFORMATA DI FOURIER

 

·   Scopo : rappresentare un segnale con un insieme di funzioni (base) le cui proprietà siano ben note.

 

·  Joseph Fourier sceglie   ejwt = coswt + j senwt.

 

                ¥

f(t) = ò F(w) ejwt dw

            -¥

 

                    ¥

F(w) = ò f(t) e-jwt dt

                -¥

 

 

 

 

·   Esempio:

                           

                           

                           

                           

 


TRASFORMATA DI FOURIER

 

 

·  Usata con successo nell’elaborazione di segnali.

 


TRASFORMATA DI FOURIER

 

 


·  Usata con successo nell’elaborazione di immagini.

 



TRASFORMATA DI FOURIER

 

 


·  Un cambiamento brusco nel tempo influenza l’intero spettro.

 


TRASFORMATA DI FOURIER

 

 


·  Lo spettro delle ampiezze non fornisce nessuna idea di come evolvono nel tempo le varie componenti di frequenza.

 

 

 

 

 


 

Short-time FOURIER analysis

 

 

·  Si applica una finestra temporale sul segnale e si prende la trasformata di Fourier.

 

                                  ¥

STFTf(w,t) = ò f(u) g*(u-t) e-jwu du

                              -¥

 

 

 

 

 

·  E’ una trasformata con una base di funzioni esponenziali complesse finestrate.

 

                              

 

 

 

· Tassellazione del piano tempo-frequenza :

 

 

 

 

STFT : Esempio

 


WAVELETS

 

 

 


·  La trasformata di Fourier con finestra (STFT) ha le finestre

    tempo-frequenza prefissate.

 

·  Una finestra breve è abile a rivelare componenti di frequenza

    alte, ma dà una risposta insoddisfacente per le componenti di

    bassa frequenza.

 

·  Soluzione : usare una funzione modulante che non abbia una

    larghezza fissa e abbia una buona localizzazione temporale.

 

·  Le Wavelets sono le versioni dilatate e traslate di una funzione wavelet madre y(t) :

 

ya,b(t) = a-1/2 y[(t-b)/a]

 

 

 

 

·

                    a < 1

 

 

                    a = 1

 

 

                    a > 1

 


WAVELETS : Tassellazione del piano

 

 

    

                   STFT                            WAVELET TRANSFORM

 

 

 

 


WAVELETS: Esempio

 

 

 

 

 

 

 

 

 


WAVELETS : Alcune considerazioni

 

F(w) = ò f(t) e-jwt dt

W(a,b) = ò f(t) y*(a,b,t) dt

Fourier

Wavelets

 

 

 

 

 

· Affinchè si possa ricostruire il segnale della trasformata Wavelets,  occorre che sia verificata una certa condizione di ammissibilità,  dalla quale segue che :

 

 

        ---    y(t)  è una funzione oscillante con media zero,

 

        ---    Y(w) ® 0    quando w ® 0  e w ® ¥

                                    (filtro passa banda)

 


 

 



 DWT (Discrete Wavelets Transform)

 

·  La trasformata Wavelets è ridondante

 

f(t)              «            W(a,b)

1 variabile                     2 variabili

 

 

· DWT : i parametri a,b sono campionati su una griglia rettangolare:                

                                           

                                         

 

a = 2j

b= k × 2j

yj,k(t) = 2-j/2 y(2-j t-k)

 

 

 

·

WAVELETS : Funzione padre

 

 

·

             ¥  ¥

f(t) = å å dj,k yj,k(t)

              -¥ -¥

 

 

 

 

 

·      

               ¥                               ¥  ¥

f(t) = å ck f0,k(t) + å å dj,k yj,k(t)

            k=-¥                          j=1 k=-¥

 

                    

 

 

·   La funzione f(t) è detta funzione padre o funzione di scala.

 

·   Analisi spettrale :

 

           F(w)                        Y(w)

 

 

 

 


                          B                2B                               4B

 

                                                                                                      w

 

 

 

·  Esempi :

 

 

 

 

 

 


WAVELETS: Esempi

 

 

Meyer


 

 

 


Daubechies

 


 

 

 

 

 

 


WAVELETS :  Multirisoluzione

 

·  1D

 


 


·  2D

 

BASE DI WAVELETS : Proprietà

 

ORTOGONALITA’

Ogni funzione può essere espressa in un modo soltanto come combinazione delle funzioni della base. Le funzioni di una base ortogonale sono linearmente indipendenti.

 

Esempio :Vettori   

 

è una base                      

non è una base

 

 

SUPPORTO COMPATTO

Il supporto di y e f è un intervallo di tempo finito. Ciò assicura una buona localizzazione temporale.

 

REGOLARITA’

E una proprietà legata alla differenziabilità delle wavelets. Ad una regolarità più alta corrisponde anche una maggiore localizzazione in frequenza.

 

poco regolare

molto regolare

 

                          

 

MOMENTI NULLI

Un alto numero di momenti ( ò tj y(t) dt) nulli implica che i coefficienti wavelets decadano a zero per alti valori del parametro di scala ; si ha pertanto un minor numero di coefficienti.

 

 

SIMMETRIA

 

simmetrica

asimmetrica

 

                                    
UNA BASE DI WAVELETS PER OGNI APPLICAZIONE

 

 

·  Le wavelets simmetriche sono più desiderabili nell’analisi delle

    immagini.

 

·   Le wavelets più regolari sono usate con algoritmi che

     coinvolgono operazioni di derivata.

 

·  Una base di wavelets con un alto numero di momenti nulli

    conduce ad una compressione dei segnali o delle immagini più

    alta.

 

·   Simmetria e ortogonalità sono incompatibili, eccetto che per le

     wavelets di Haar.

 

·   E’ possibile progettare wavelets con più o meno asimmetria.

 

·   L’ortogonalità è sostituita dalla biortogonalità, che è meno

     restrittiva ed è compatibile con la simmetria.

 

 


TRASFORMATA WAVELETS IN 2D

 

                         

 

  

 

 

                               

Esempio:


 

APPLICAZIONI

 

 

· Filtraggio del rumore

   Si sopprimono i coefficienti di dettaglio sotto una certa soglia

   nella decomposizione wavelets.

 

 

· ANALISI IN MULTIRISOLUZIONE

 

                                                  

                                                           

·  RIVELAZIONE AUTO-SIMILARITA’ (FRATTALI)

 

 

 

·  COMPRESSIONE DATI

   

    I valori più significativi dei coefficienti nella decomposizione

    wavelets sono concentrati verso le basse frequenze (sono più

    significativi i valori dei coefficienti delle approssimazioni che

    quelli dei dettagli).

   

         --- compressione senza perdite

         --- compressione con perdite

 


 

WAVELETS: AUTOSIMILARITA’

 

 

 

 

                

 


WAVELETS: COMPRESSIONE

 

 

 


HARDWARE - 1D

 

 

 

 

·  Algoritmo a piramide.

   

 

    Il carico computazionale non è distribuito in modo uniforme : il

    processore di livello j è attivo 1/2j-1 del tempo del processore al

    primo livello.

    

 

·   Algoritmo ricorsivo.

 

 

 

    I filtri possono essere di tipo seriale o parallelo.

 

 

 

 


HARDWARE - 2D

 

 

·  Algoritmo a piramide.

 

 

 

                        Livello 1 : N2 uscite  

                                                              Livello 2 : N2/4 uscite

 

 

·   Algoritmo ricorsivo.

 

     - Richiede una memoria di N2 parole.

-        Latenza alta.

 

 



 

CONCLUSIONI

 

                                

 ·    WAVELETS:   un microscopio matematico

 

 

  

 

 ·    Efficiente sintesi di teorie e concetti sviluppatisi in campi

       diversi dell’ingegneria, della fisica e della matematica.

 

 

 

·    Quale base di wavelets ?  

 

 

 

·    Nei sistemi di trigger degli apparati di fisica sperimentale

           

-        multirisoluzione (nell’elaborazione dei dati)

-   compressione  (nella trasmissione dei dati)